Matematika

Kelas VII Bab 7 Hal 200 - 214

A.GARIS

Garis merupakan bangun paling sederhana dalam geometri,

karena garis adalah bangun berdimensi satu. Perhatikan garis AB

pada Gambar 7.1. Di antara titik A dan titik B dapat dibuat satu

garis lurus AB. Di antara dua titik pasti dapat ditarik satu garis

lurus. 

 

1. Kedudukan Dua Garis

a. Dua garis sejajar

Apabila kita perhatikan lintasan kereta api tersebut, jarak antara dua rel akan selalu tetap (sama) dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan lainnya. Apa yang akan terjadi jika jaraknya berubah? Apakah kedua rel itu akan berpotongan?

Berdasarkan gambaran tersebut, selanjutnya apabila dua buah rel kereta api kita anggap sebagai dua buah garis, maka dapat kita gambarkan seperti Gambar 7.2 di bawah ini.  

 

Garis m dan garis n di atas, jika diperpanjang sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan.Keadaan seperti ini dikatakan kedua garis sejajar. Dua garis sejajar dinotasikan dengan “//”.

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis – garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak berhingga.

b. Dua garis berpotongan

Agar kalian memahami pengertian garis berpotongan,perhatikan Gambar 7.3. Gambar tersebut menunjukkan gambar kubus ABCD.EFGH. Garis AB dan garis BC.Tampak bahwa garis AB dan BC berpotongan di titik B dimana keduanya terletak pada bidang ABCD. Dalam hal ini garis AB dan BC saling berpotongan.

 

Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong.atakan 

c. Dua garis berimpit

Pada Gambar 7.4 di bawah ini menunjukkan garis AB dan garis CD yang saling menutupi, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja. Dalam hal ini dikatakan kedudukan masing-masing garis AB dan CD terletak pada satu garis lurus. Kedudukan garis yang demikian dinamakan pasangan garis yang berimpit.

Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut terletak

pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis

lurus saja.

d. Dua garis bersilangan

           

Penghapus  kita ibaratkan sebagai bentuk sebuah balok, maka dapat digambar seperti pada Gambar 7.5.              

             

Gambar 7.5 menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH.Perhatikan garis AC dan garis HF.

Tampak bahwa kedua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar. Garis AC terletak pada bidang ABCD, sedangkan garis HF terletak pada bidang EFGH. Selanjutnya apabila kedua garis tersebut, masing-masing diperpanjang, maka kedua garis tidak akan pernah bertemu. Dengan kata lain, kedua garis itu tidak mempunyai titik potong. Kedudukan garis yang demikian dinamakan pasangan garis yang saling bersilangan. Coba tentukan pasangan garis lain yang saling bersilangan pada balok tersebut.

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak

terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan

apabila diperpanjang.

2. Garis Horizontal dan Garis Vertikal

Gambar 7.6 (a).

Gambar tersebut menunjukkan sebuah neraca dengan bagian - bagiannya.Bagian tiang penyangga dan bagian lengan yang berada di atasnya. Kedudukan bagian tiang dan lengan tersebut menggambarkan garis horizontal dan vertikal. Bagian lengan menunjukkan kedudukan garis horizontal, sedangkan tiang penyangga menunjukkan kedudukan garis vertikal. Arah garis horizontal mendatar, sedangkan garis vertikal tegak lurus dengan garis

horizontal.

3. Sifat-Sifat Garis Sejajar

 Gambar 7.7.                        

Pada gambar tersebut, melalui dua buah titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis m.

Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n.

Berdasarkan uraian di atas, secara umum diperoleh sifat sebagai berikut.

Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu.

Selanjutnya Gambar 7.8.

Pada gambar di atas diketahui garis m sejajar dengan garis n (m // n) dan garis l memotong garis m di titik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjang maka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.

garis Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar maka garis itu juga akan memotong yang kedua.

 Gambar 7.9.

Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar dengan garis l dan garis m. Tampak bahwa garis k sejajar dengan  garis l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengan m ,ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berarti bahwa garis l sejajar dengan garis m.

Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.

4. Membagi Sebuah Garis

a. Membagi Garis Menjadi n Bagian Sama Panjang

Buatlah sebarang garis KL.

Bagilah garis KL menjadi tiga bagian sama panjang.Seperti pada gambar 7.10 ini.

Langkah-langkahnya sebagai berikut.

1.   Buatlah garis KL.
2.  Dari titik K, buatlah sebarang garis KP sedemikian sehingga tidak berimpit dengan garis KL.
3.  Buatlah berturut-turut tiga busur lingkaran dengan jari-jari yang sama sedemikian sehingga KS = SR = RQ.
4.   Tariklah garis dari titik Q ke titik L.
5.   Dari titik R dan S, masing-masing buatlah garis yang sejajargaris LQ sehingga masing-masing garis tersebut memotong garis KL berturut-turut di titik N dan M.
6.  Dengan demikian, terbagilah garis KL menjadi tiga bagian yang sama panjang, yaitu KM = MN = NL

b. Membagi garis dengan perbandingan tertentu

Diketahui garis CD sebagai berikut.Selanjutnya seperti gambar 7.12

                                                                        

                                 

Misalkan kita akan membagi garis CD menjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 3, maka langkah-langkahnya sebagai berikut.

1.   Buatlah garis CD.
2.  Dari titik C, buatlah sebarang garis CK, sedemikian sehingga tidak berimpit dengan garis CD.
3.   Dari titik C, buat busur lingkaran dengan jari-jari sama,sehingga CP : PQ = 1 : 3.
4.   Tariklah garis dari titik Q ke titik D.
5.  Dari titik P buatlah garis yang sejajar dengan DQ dengan cara membuat sudut yang  besarnya sama dengan CQD terlebih dahulu dari titik P kemudian menghubungkannya
6.   sehingga memotong CD di titik B.
7.   Terbentuklah ruas garis CB dan BD pada garis CD dengan perbandingan CB : BD = 1 : 3. Garis CD telah terbagi menjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 3

B. PERBANDINGAN SEGMEN GARIS

 Sebuah garis dapat dibagi menjadi n bagian yang sama panjang atau dengan perbandingan tertentu. Perhatikan Gambar 7.13 di bawah ini. Gambar tersebut menunjukkan garis PQ dibagi menjadi 5 bagian yang sama panjang, sehingga PK = KL = LM = MN = NQ. Jika dari titik K, L, M, N,dan Q ditarik garis vertikal ke bawah, sedemikian sehingga PA = AB = BC = CD = DE maka diperoleh sebagai berikut.

1. PM : MQ = 3 : 2   PM : MQ  = PC : CE

    PC : CE  = 3 : 2  

2. QN : NP = 1 : 4     QN : NP = ED : DP

    ED : DP = 1 : 4

3. PL : PQ = 2 : 5      PL : PQ = PB : PE

    PB : PE = 2 : 5

4. QL : QP = 3 : 5   QL : QP = EB :  EP

    EB : EP = 3 : 5

  

Berdasarkan uraian tersebut,secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut.

C. SUDUT

1. Pengertian Sudut

 

Suatu sudut dapat dibentuk dari suatu sinar yang diputar pada pangkal sinar. Sudut ABC

pada gambar di atas adalah sudut yang dibentuk yang diputar dengan pusat B sehingga berputar sampai

.

Ruas garis BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik pertemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut. Daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut, yaitu daerah ABC disebut daerah sudut. Untuk selanjutnya, daerah sudut ABC disebut besar sudut ABC.

Sudut dinotasikan dengan . Sudut pada Gambar 7.17 dapat diberi nama :

a. sudut ABC atau ABC;

b. sudut CBA atau CBA;

c. sudut B atau  B.

Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.

Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua buah garis lurus.

2. Besar Sudut

Besar suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat , menit , dan detik .

 Jarum jam pada sebuah jam dinding. Untuk menunjukkan waktu 1 jam, maka jarum menit harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 jam = 60 menit. Adapun untuk menunjukkan waktu 1 menit, jarum detik harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit = 60 detik. Hal ini juga berlaku untuk satuan sudut.

Hubungan antara derajat , menit , dan detik   dapat dituliskan sebagai berikut.

3.Penjumlahan dan Pengurangan dalam Satuan Sudut

Seperti halnya pada besaran-besaran lainnya, pada satuan sudut juga dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Caranya hampir sama seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan satuan sudut, masing-masing satuan derajat, menit, dan detik harus diletakkan dalam satu lajur.

 Contoh :                                 

   

D.MENGGAMBAR DAN MEMBERI NAMA SUDUT

Dalam mengukur besar suatu sudut, diperlukan suatu alat yang dinamakan busur derajat.

 Gambar 7.18.

Gambar 7.18 menunjukkan sebuah busur derajat yang menggunakan derajat sebagai satuannya.

Pada umumnya,busur derajat terbuat dari mika tembus pandang berbentuk setengah lingkaran.

Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala atas dan skala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20, ...,180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawah terdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20,..., 180.

1.Mengukur Besar  Suatu Sudut

Langkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai berikut.

 Gambar 7.19 berikut.

1) Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehingga

      a) titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O;

      b) sisi horizontal busur derajat berimpit dengan sinar garis OA.

2) Angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikan angka pada skala bawah yang terletak pada kaki sudut OB.

Dari gambar tampak bahwa garis OB terletak pada angka . Jadi, besar sudut AOB = .

2.Menggambar Besar Suatu Sudut

          Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besarnya .Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besarnya  sebagai berikut.

1.    Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horizontal, yaitu kaki sudut PQ.

2.    Letakkan busur derajat sehingga

a.    titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q;

b.   sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ.

3.    Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis PQ.

4.    Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60 yang berada di bawah       yang digunakan.

5.    Jika angka nol (0) terletak pada skala atas maka angka 60 yang berada di atas yang digunakan. Berilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R.

6.    Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garis PQ dan QR adalah sudut PQR dengan besar PQR = .

                                                    (ii)

                                                  

                                                  atau

   

                                                         (iii)

    

Baca selengkapnya »